Question

已知單位向量

OA

和

OB

的夾角為90°，點C在以O為圓心的圓弧AB（含端點）上運動，若

OC

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，則xy的取值范圍是

[0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：由

OC

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，且向量的模都是1，且

OA

•

OB

=0，平方可得1=x²+y²≥2xy，再由x，y∈[0，1]，可得xy的范圍．

解答：解：由

OC

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，向量

OA

和

OB

的夾角為90°，且|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=1，平方可得
1=x²+y²≥2xy，得xy≤

1

2

，而點C在以O為圓心的圓弧AB上變動，得x，y∈[0，1]，
于是，0≤xy≤

1

2

，
故答案為[0，

1

2

]．

點評：本題考查兩個向量的數量積的定義以及基本不等式的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．