Question

【題目】三棱錐A﹣BCD及其側視圖、俯視圖如圖所示，設M，N分別為線段AD，AB的中點，P為線段BC上的點，且MN⊥NP．

（1）證明：P是線段BC的中點；
（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由三棱錐A﹣BCD及其側視圖、俯視圖可知，在三棱錐A﹣BCD中：

平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2

設O為BD的中點，連接OA，OC

于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OACBD⊥AC

因為M，N分別為線段AD，AB的中點，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP

假設P不是線段BC的中點，則直線NP與直線AC是平面ABC內相交直線

從而BD⊥平面ABC，這與∠DBC=60°矛盾，所以P為線段BC的中點

（2）解：以O為坐標原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則A（0，0， ），M（ ，O， ），N（ ，0， ），P（ ， ，0）

于是 ， ，

設平面ANP和平面NPM的法向量分別為 和

由 ，則 ，設z1=1，則

由 ，則 ，設z2=1，則

cos = = =

所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值

【解析】（1）用線面垂直的性質和反證法推出結論，（2）先建空間直角坐標系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．