Question

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點分別為A₁、A₂，上、下頂點分別為B₁、B₂．設直線A₁B₁的傾斜角的正弦值為，圓C與以線段OA₂為直徑的圓關于直線A₁B₁對稱．

（1）求橢圓E的離心率；
（2）判斷直線A₁B₁與圓C的位置關系，并說明理由；
（3）若圓C的面積為π，求圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓E的焦距為2c（c＞0），因為直線A₁B₁的傾斜角的正弦值為，所以，由此能求出橢圓E的離心率．
（2）由，設a=4k（k＞0），，則，于是A₁B₁的方程為：，故OA₂的中點（2k，0）到A₁B₁的距離d=，由此能夠證明直線A₁B₁與圓C相切．
（3）由圓C的面積為π知圓半徑為1，從而，設OA₂的中點（1，0）關于直線A₁B₁：的對稱點為（m，n），則，由此能求出圓C的方程．
解答：解：（1）設橢圓E的焦距為2c（c＞0），
因為直線A₁B₁的傾斜角的正弦值為，所以，
于是a²=8b²，即a²=8（a²-c²），所以橢圓E的離心率．（4分）
（2）由可設a=4k（k＞0），，則，
于是A₁B₁的方程為：，
故OA₂的中點（2k，0）到A₁B₁的距離d=，（6分）
又以OA₂為直徑的圓的半徑r=2k，即有d=r，
所以直線A₁B₁與圓C相切．（8分）
（3）由圓C的面積為π知圓半徑為1，從而，（10分）
設OA₂的中點（1，0）關于直線A₁B₁：的對稱點為（m，n），
則（12分）
解得．所以，圓C的方程為（14分）
點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．