Question

（2013•大連一模）已知各項均為正數的數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0．
（Ⅰ）求證：數列{

1

an

}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{

2n

an

}前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）由于各項均為正數的數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0，兩邊同除以a_na_n+1，即可得到

1

an+1

-

1

an

=1，轉化為等差數列，利用通項公式即可得出；
（II）由（Ⅰ）知

2n

an

=n•2n．利用“錯位相減法”和等比數列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0，∴

an+1+an•an+1-an

an•an+1

=0，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，

1

a1

=1，
∴數列{

1

an

}是以1為首項，1為公差的等差數列．

1

an

=1+(n-1)×1=n，可得an=

1

n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n

an

=n•2n．
Sn=1×21+2×22+…+n×2n．①
2Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1．②
由①-②得-Sn=21+22+…+2n-n×2n+1．
∴Sn=(n-1)2n+1+2．

點評：熟練掌握等差數列的通項公式、“錯位相減法”和等比數列的前n項和公式是解題的關鍵．