Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的左右焦點分別是F₁（-c，0），F₂（c，0），直線l：x=my+c與橢圓C交于兩點M，N且當時，M是橢圓C的上頂點，且△MF₁F₂的周長為6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左頂點為A，直線AM，AN與直線：x=4分別相交于點P，Q，問當m變化時，以線段PQ為直徑的圓被x軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據時，直線的傾斜角為120°，又△MF₁F₂的周長為6，即可求得橢圓方程；
（2）利用特殊位置猜想結論：當m=0時，直線l的方程為：x=1，求得以PQ為直徑的圓過右焦點，被x軸截得的弦長為6，猜測當m變化時，以PQ為直徑的圓恒過焦點F₂，被x軸截得的弦長為定值6，再進行證明即可．
解答：解：（1）當時，直線的傾斜角為120°，又△MF₁F₂的周長為6
所以：…（3分）
解得：，…（5分）
所以橢圓方程是：；…（6分）
（2）當m=0時，直線l的方程為：x=1，此時，M，N點的坐標分別是，又A點坐標是（-2，0），
由圖可以得到P，Q兩點坐標分別是（4，3），（4，-3），以PQ為直徑的圓過右焦點，被x軸截得的弦長為6，猜測當m變化時，以PQ為直徑的圓恒過焦點F₂，被x軸截得的弦長為定值6，…（8分）
證明如下：
設點M，N點的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），則直線AM的方程是：，
所以點P的坐標是，同理，點Q的坐標是，…（9分）
由方程組得到：3（my+1）²+4y²=12⇒（3m²+4）y²+6my-9=0，
所以：，…（11分）
從而：
==0，
所以：以PQ為直徑的圓一定過右焦點F₂，被x軸截得的弦長為定值6．…（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是利用特殊位置，猜想結論，再進行證明．