Question

 已知定圓A：(x＋1)²＋y²＝16圓心為A，動圓M過點B(1,0)且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡記為C.

   （I）求曲線C的方程；

   （II）若點P(x₀,y₀)為曲線C上一點，求證：直線l: 3x₀x＋4y₀y－12＝0與曲線C有且只有一個交點。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：（I）圓A的圓心為A(－1，0)，半徑r₁＝4，

設動圓M的圓心M(x,y),半徑為r₂，依題意有r₂＝|MB|，

由|AB|=2，可知點B在圓A內，從而圓M內切于圓A，

故|MA|＝r₁—r₂，即|MA|＋|MB|＝4，

所以，點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓．                           （4分）

設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，由2a＝4,2c＝2,可得a²＝4,b²＝3，

故曲線C的方程為＋＝1．  （6分）

   （II）當y₀＝0時，由＋＝1 可得y₀＝±2，

當x₀＝2，y₀＝0時，直線l的方程為x＝2，此時，

直線l與曲線C有且只有一個交點(2，0) ，

當x₀＝－2，y₀＝0時，直線l的方程為x＝－2，此時，

直線l與曲線C有且只有一個交點(－2，0) ，    9分

當y₀≠0時，聯立 ，

消去y，得(3x₀²＋4y₀²)xx₀x＋y₀²＝0，        ①         （10分）

注意到, P(x₀,y₀)為曲線C上一點，即＋＝1，

于是方程①可以化簡為xx₀x＋x₀²＝0 ，解得x＝x₀，y＝y₀ ，

即直線l與曲線C有且只有一個交點P(x₀,y₀)，

綜上，直線l與曲線C有且只有一個交點，且交點為P(x₀,y₀)．               （12分）

評析：解析幾何中的軌跡問題一直是出題的重要方向，圓錐曲線不考察第二定義以后，由圓在內構造的軌跡問題成為主要的出題方向（容易構造），需要考生注意平時積累；直線與圓、圓錐曲線間的位置關系的判定、證明、求值能有效考察考生的運算能力；