Question

如圖，已知△ABC內接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DBCE為平行四邊形，EC⊥平面ABC，AB=2AC=2，tan∠DAB=

3

2

．
（1）設F是CD的中點，證明：OF∥平面ADE；
（2）求點B到平面ADE的距離；
（3）畫出四棱錐A-BCED的正視圖（圓O在水平面，ABD在正面，要求標明垂直關系與至少一邊的長）．

Answer 1

分析：（1）F是CD的中點，證明：OF平行平面ADE內的直線AE即可；
（2）設點B到平面ADE的距離為h，由V_B-ADE=V_A-BDE可求點B到平面ADE的距離；
（3）直接畫出四棱錐A-BCED的正視圖（圓O在水平面，ABD在正面，要求標明垂直關系與至少一邊的長）．

解答：解：（1）連接BE，因為DBCE為平行四邊形，F是CD的中點，所以BE∩CD=F，
且F是BE的中點（1分），
O是AB的中點，所以OF∥AE（2分），
AE?平面ADE，OF?平面ADE，所以OF∥平面ADE（4分）．
（2）EC⊥平面ABC，從而BD⊥平面ABC，BD⊥AB，tan∠DAB=

BE

AB

=

3

2

，
所以BD=

3

（5分），
因為EC⊥平面ABC，AC⊥CB，所以CA、CB、CE兩兩相交且互相垂直（6分），
所以AC⊥平面BDE，BC⊥平面ACE，從而DE⊥平面ACE（7分），
在三棱錐B-ADE中，S△BDE=

3

2

，S△ADE=

3

（9分），
設點B到平面ADE的距離為h，由V_B-ADE=V_A-BDE得

1

3

×S△BDE×AC=

1

3

×S△ADE×h（10分），
解得h=

3

2

（11分）．
（3）如圖（1分），
標明兩個垂直關系BD⊥DE、BD⊥AB（1分），
標明BD、DE、AB任何一邊的長再給（1分）．

點評：本小題主要考查空間線面關系的線面垂直的平行定理的運用，空間幾何體的體積的求解等知識，錐體體積的計算中最為關鍵的是確定錐體的高，而若高的確定比較困難時，常用等體積轉化求解答，也是非常常用的方法，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．