Question

已知關于x的不等式ax²-3x+6＞0的解集為{x|b＜x＜1}
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）解 關于x的不等式：ax²-（ac+b）x+bc＞0，其中c∈R．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式ax²-3x+6＞0的解集為{x|b＜x＜1}，說明方程ax²-3x+6=0的兩個根為1和b，利用根與系數的關系求出a和b；
（Ⅱ）把a與b的值代入不等式：ax²-（ac+b）x+bc＞0，對其進行因式分解，分類進行討論，從而求出不等式的解集；

解答：解：（Ⅰ）∵不等式ax²-3x+6＞0的解集為{x|b＜x＜1}，
∴ax²-3x+6=0的兩個根為1和b
把x=1代人方程a-3+6=0得a=-3，-3x²-3x+6=0即（x-1）（x+2）=0的兩個根為1和-2，
∴b=-2
（Ⅱ）∵ax²-（ac+b）x+bc＞0，代入a=-3，b=-2，
∵3x²+（3c+2）x+2c＜0，
∴（x+

2

3

）（x+c）＜0
若-c＞-

2

3

即c＜

2

3

，可得不等式的解集為：{x|-

2

3

＜x＜-c}；
若-c＜-

2

3

即c＞

2

3

，可得不等式的解集為：{x|-c＜x＜-

2

3

}；

點評：此題主要考查一元二次不等式的解法，以及方程根與系數關系，解題的過程中用到了分類討論的思想，此題是一道基礎題；