Question

【題目】如圖，四邊形是梯形，四邊形是矩形，且平面平面，，，是線段上的動點.

（1）試確定點的位置，使平面，并說明理由；

（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）是線段的中點，理由見解析 （2）

【解析】

（1）當是線段的中點時，平面．連結，交于，連結，利用三角形中位線定理能夠證明平面．

（2）法一：過點作平面與平面的交線，過點作于，過作于，連結，由已知條件推導出是平面與平面所成銳二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值．

法二：分別以，，的方向為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．

解：（1）當是線段的中點時，平面.

證明如下：

連結，交于，連結，

由于分別是，的中點，所以，

由于平面，又平面，

所以平面.

（2）方法1：過點作平面與平面的交線，

由于平面，可知，

過點作于，

因為平面平面，，

所以平面，則平面平面，

所以平面，

過作于，連結，則直線平面，

所以，

故是平面與平面所成銳二面角的平面角.

設，則，，

，則，

所以，即所求二面角的余弦值為.

方法2：

因為平面平面，，所以平面，

可知兩兩垂直，分別以的方向為軸，建立空間直角坐標系.

設，則，，，，設平面的法向量，

則所以

令，得平面的一個法向量，

取平面的法向量，

由，

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.