Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=n （2n-1），（n∈N*）
（1）證明數列{a_n}為等差數列；
（2）設數列{b_n} 滿足b_n=S1+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

（n∈N*），試判定：是否存在自然數n，使得b_n=900，若存在，求出n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（2n-1）-（n-1）（2n-3）=4n-3，
當n=1時，a₁=S₁=1，適合．∴a_n=4n-3，
∵a_n-a_n-1=4（n≥2），∴a_n為等差數列．
（2）由題意知，

Sn

n

=2n-1，
∴b_n=S1+

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

=1+3+5+7++(2n-1)=n2，
由n²=900，得n=30，即存在滿足條件的自然數，且n=30．