Question

已知等差數列的前20項的和為100，則a₇a₁₄的最大值為

25

．

Answer 1

分析：由等差數列的前n項和公式表示出數列前20項的和，讓其值等于100列出關于首項和公差的關系式，表示出首項，記作①，然后把所求的式子利用等差數列的通項公式化簡，得到另一個關系式，記作②，將①代入②得到關于d的二次函數，當d為0時得到所求式子的最大值．

解答：解：由題意得：S₂₀=

20(a1+a20)

2

═10（2a₁+19d）=100，
得到2a₁+19d=10，解得：a₁=

10-19d

2

 ①．
由于a₇a₁₄=（a₁+6d）（a₁+13d）②，將①代入②中得：
a₇a₁₄=（

10-19d

2

+6d）（

10-19d

2

+13d）=

1

4

（100-49d²），
當d=0時，a₇a₁₄取得最大值為

1

4

×100=25，
故答案為25．

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的通項公式及前n項和公式化簡求值，掌握等差數列的性質及二次函數求最值的方法，是一道中檔題．