Question

已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）若，求的值，并求此時(shí)曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）、；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的最小值為。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，代入0可求得a的值。再將代入原函數(shù)求，既得切點(diǎn)坐標(biāo)，再將代入導(dǎo)函數(shù)求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知即為切線在點(diǎn)處切線的斜率，根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式即可求得切線方程。（Ⅱ）先求導(dǎo)數(shù)，及其零點(diǎn)，判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化，即可得原函數(shù)增減變化，可得其極值。再求其端點(diǎn)處的函數(shù)值。比較極值和端點(diǎn)處函數(shù)值最小的一個(gè)即為最小值。此題注意分類討論。

試題解析：解：（Ⅰ）已知函數(shù)，

所以，，

又，所以.

又，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為. 5分

（Ⅱ），

令，則.

（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；

（2）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是

上唯一極值點(diǎn)，所以；

（3）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，（僅有當(dāng)時(shí)），所以 在區(qū)間上單調(diào)遞減

所以函數(shù).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，

時(shí)，函數(shù)的最小值為 13分

考點(diǎn)：（1）導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)