Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M為AA₁的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經過棱CC₁到M的最短路線長為

29

，設這條最短路線與CC₁的交點為N，求：
（I）該三棱柱的側面展開圖的對角線長
（II）PC和NC的長
（III）平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大小（用反三角函數表示）

Answer 1

分析：（I）由展開圖為矩形，用勾股定理求對角線長．
（II）在側面展開圖中三角形MAP是直角三角形，可以求出線段AP的長度，進而可以求出PC的長度，再由相似比可以求得CN的長度．
（III）補形，找出兩面的交線，在特殊的位置作出線面角，如圖2．二面角易求．

解答：解：（I）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為

92+42

=

97

（II）如圖1，將側面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉120°使其與側成AA₁C₁C在同一平面上，點P運動到點P₁的位置，連接MP₁，則MP₁就是由點P沿棱柱側面經過棱CC₁到點M的最短路線

設PC=x，則P₁C=x，在Rt△MAP₁中，由勾股定理得（3+x）²+2²=29
求得x=2
∴PC=P₁C=2
∵

NC

MA

=

P1C

P1A

=

2

5

∴NC=

4

5

（III）如圖2，連接PP₁，則PP₁就是平面NMP與平面ABC的交線，作NH⊥PP₁于H，又CC₁⊥平面ABC，連接CH，由三垂線定理得，CH⊥PP₁

∴∠NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）
在Rt△PHC中，∵∠PCH=

1

2

∠PCP1=60°，∴CH=

PC

2

=1
在Rt△NCH中，tan∠NHC=

NC

CH

=

4 5

1

=

4

5

故平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大小為arctan

4

5

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系、棱柱等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．