Question

函數與函數 的圖象的所有交點的橫坐標之和=        

Answer 1

8

解析試題分析：令z=1-x,即x=1-z；則=，y=2sinπx=2sinπ(1-z)=2[sinπcosπz-cosπsinπz]
=2sinπz.因-2≤x≤4，故-4≤－x≤2，-3≤1-x≤3,即-3≤z≤3.所以y=與y=2sinπz均為[-3,3]上的奇函數，令f(z)=-2sinπz,則若有z₀使得f(z)=0,則必有-z₀也使f(z)=0成立.此時x的值分別為1-x₀，1+x₀，它們的和為2；
另外由于y=有意義，故z≠0，這樣排除了交點為奇數個的情形.
現在問題轉化為求f(z)= -2sinπz在[-3,3]上的零點有幾對的情況.不妨只看z>0一邊，簡單的畫一下y=與y=2sinπz的圖像，顯然當z=時，=2，2sinπz=2這是一個交點,即(1,0)并且此時y=的切線斜率小于0，而y=2sinπz的切線斜率等于0，這樣兩者在 ( ,1)上還有一個交點；顯然在(2,)，(,3)上還各有一個交點.共有四對交點，結果是8.
考點：1.函數的圖象；2.函數導數的性質.