Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.

①求的取值范圍；

②求證：.

Answer 1

【答案】(1) (2) ①，②見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）求出，它是切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程.

（2）根據(jù)得有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在有兩個(gè)不同的根，利用判斷式大于零得到的取值范圍.要證明，需證明，但，故只要證明 在上恒成立，可令 ，通過(guò)導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性即可.

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，

∴，

∴在點(diǎn)處的切線方程為，即；

（2）①函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同的正實(shí)根，

∴有兩個(gè)不同的正實(shí)根，

∴，

即的取值范圍是.

②由題意，的兩根為，由韋達(dá)定理，，

其中，

于是 ，

令，則在上恒成立，

即函數(shù)在上為減函數(shù)，

又因?yàn)?/span>，所以，即.