Question

已知點P，A，B，C，D都是直徑為3的球O表面上的點，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，若PA=1，則幾何體P-ABCD的體積為

4

3

．

Answer 1

分析：可將P，A，B，C，D補全為長方體ABCD-A′B′C′D′，讓P與A′重合，則該長方體的對角線PC即為球O的直徑（球O為該長方體的外接球），于是可求得PC的長度，進一步可求出底面邊長，從而求幾何體P-ABCD的體積．

解答：解：依題意，可將P，A，B，C，D補全為長方體ABCD-A′B′C′D′，讓P與A′重合，
則球O為該長方體的外接球，長方體的對角線PC即為球O的直徑．
設ABCD是邊長為a，PA⊥平面ABCD，PA=1，
∴PC²=AP²+2AB²=1+2a²=3²，
∴a²=4，
則幾何體P-ABCD的體積為V=

1

3

×a2×PA=

4

3

．
故答案為：

4

3

點評：本題考查直線與平面垂直的性質，考查球內接多面體的應用，“補形”是關鍵，考查分析、轉化與運算能力，屬于中檔題．