Question

某工廠在1999年的“減員增效”中對部分人員實行分流，規定分流人員第一年可以到原單位領取工資的100%，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年的

2

3

領取工資，該廠根據分流人員的技術特長，計劃創辦新的經濟實體，該經濟實體預計第一年屬投資階段，第二年每人可獲得b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎上遞增50%，如果某人分流前工資的收入每年a元，分流后進入新經濟實體，第n年的收入為a_n元，
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）當b=

8a

27

時，這個人哪一年的收入最少？最少為多少？
（3）當b≥

3a

8

時，是否一定可以保證這個人分流一年后的收入永遠超過分流前的年收入？

Answer 1

分析：（1）由題意知職工分流后每年的工資組成一個數列，由兩個等比數列的和組成，代入數據求{a_n}的通項公式．
（2）把b的值代入通項公式a_n，再利用基本不等式求最小值．
（3）根據（1）求出的a_n和b的范圍，放縮一次后，再利用基本不等式進行比較，注意等號成立的條件，再回到實際問題中．

解答：解：（1）由題意得，當n=1時，a₁=a，
當n≥2時，an=a(

2

3

)n-1+b(

3

2

)n-2，
∴a_n=

a                             (n=1) a( 2 3 )n-1+b( 3 2 )n-2   (n≥2)

．
（2） 由已知b=

8a

27

，
當n≥2時，an=a(

2

3

)n-1+

8a

27

(

3

2

)n-2≥2[a(

2

3

)n-1×

8a

27

(

3

2

)n-2]

1

2

=

8a

9

要使得上式等號成立，當且僅當a(

2

3

)n-1=

8a

27

(

3

2

)n-2，
即(

2

3

)2n-2=(

2

3

)4，解得n=3，
因此這個人第三年收入最少為

8a

9

元．
（3）∵當n≥2時，an=a(

2

3

)n-1+b(

3

2

)n-2≥a(

2

3

)n-1+

3a

8

(

3

2

)n-2≥2

a( 2 3 )n-1× 3a 8 ( 3 2 )n-2

=a，
上述等號成立時，須b=

3a

8

且a(

2

3

)n-1=

3a

8

(

3

2

)n-2，即(

4

9

)n-1=

1

4

兩邊取對數得，n=1+log

2

3

1

2

＞1+log

2

3

2

3

=2，因此等號不能取到，
∴當b≥

3a

8

時，這個人分流一年后的收入永遠超過分流前的年收入．

點評：本題為等比數列應用題，通項公式只能用分段函數表示，不能合二為一；在求最值和比較大小時，用到了基本不等式，注意等號成立時是否取到．