Question

已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=4，AA₁=4，點M是棱D₁C₁的中點．
（1）試用反證法證明直線AB₁與BC₁是異面直線；
（2）求直線AB₁與平面DA₁M所成的角（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

分析：（1）假設直線AB₁與BC₁不是異面直線，它們都在平面α上，推出平面ABB₁A₁和平面BCC₁B₁重合，這是矛盾，
（2）求出平面的一個法向量，直線和平面所成的角的余弦值等于直線與平面的法向量夾角的正弦值．

解答：證明：（1）（反證法）假設直線AB₁與BC₁不是異面直線．（1分）
設直線AB₁與BC₁都在平面α上，則A、B、B₁、C₁∈α．（3分）
因此，平面ABB₁A₁、平面BCC₁B₁都與平面α有不共線的三個公共點，
即平面ABB₁A₁和平面BCC₁B₁重合（都與平面α重合）．又長方體的相鄰兩個面不重合，這是矛盾，
于是，假設不成立．（6分）
所以直線AB₁與BC₁是異面直線．（7分）
解：（2）按如圖所示建立空間直角坐標系，
可得有關點的坐標為D（0，0，0）、
A（4，0，0）、B（4，2，0），C（0，2，0），A₁（4，0，4），B₁（4，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）．于是，M（0，1，4），

DM

=(0，1，4)，

DA1

=(4，0，4)，

AB1

=(0，2，4)．（9分）

設平面DA₁M的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n  • DM =0 n  • DA1 =0

，即

y+4z=0 4x+4z=0

．
取z=-1，得x=1，y=4．（11分）
所以平面DA₁M的一個法向量為

n

=(1，4，-1)．
記直線AB₁與平面DA₁M所成角為θ，于是，sinθ=|

n  • AB1

| n  |•| AB1 |

|=

10

15

，θ=arcsin

10

15

．（13分）
所以，直線AB₁與平面DA₁M所成角為θ=arcsin

10

15

．（14分）

點評：本題考查用反證法證明2條直線是異面直線、及用向量法求直線和平面的夾角．