Question

設AB為過拋物線y²=8x的焦點的弦，若A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），m=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

，則實數m的最小值為（　　）

• A、2
• B、4
• C、8
• D、16

Answer 1

分析：欲求實數m的最小值，根據兩點間的距離公式知即求焦點弦|AB|的最小值．根據拋物線方程可得焦點坐標，進而可設直線L的方程與拋物線聯立根據韋達定理求得x₁+x₂，進而根據拋物線定義可求得|AB|的表達式，整理可得|AB|=8（1+

1

k2

），由于k=tana，進而可知當a=90°時AB|有最小值．

解答：解：焦點F坐標（ 2，0），設直線L過F，則直線L方程為y=k（x-2）
聯立y²=8x得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0
由韋達定理得x₁+x₂=4+

8

k2

|AB|=x₁+x₂+4=8（1+

1

k2

）
因為k=tana，所以1+

1

k2

=1+

1

tan2α

=

1

sin2α

∴|AB|=

2p

sin2α

當a=90°時，即AB垂直于X軸時，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p
故選C

點評：本題主要考查拋物線的應用．這道題綜合了拋物線的性質、拋物線的焦點弦、直線與拋物線的關系等問題，解題的關鍵是正確聯立方程，寫出根和系數的關系．