Question

（Ⅰ）試比較的大小；
（Ⅱ）試比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ（n∈N₊）的大小，根據（Ⅰ）的結果猜測一個一般性結論，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由于，，則
又，，則
所以
（Ⅱ）猜想：當n=1，2時，有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ ； 當n≥3時，有nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ
證明如下：①當n=1時，不等式可化為：1＜2，顯然成立
當n=2時，不等式可化為：2³＜3²，顯然成立
②當n≥3時
設，
又
∴a_n+1＞a_n，即數列{a_n}是一個單調遞增數列
則a_n＞a_n-1＞…＞a₃＞1
∴即nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ
綜上所述，當n=1、2時，有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ
當n≥3時，n^n+!＞（n+1）ⁿ
分析：（1）用指數運算把根式化成整數后再比較大小
（2）給n賦值，計算結果，從而得到猜想，然后再用作商法證明猜想
點評：本題考查比較大小，間接考查指數運算和歸納推理．比較兩個數的大小，最基本的方法是作差或作商．屬簡單題