【題目】如圖，已知
，
，
分別為
的中點，
，將
沿
折起，得到四棱錐
，
為
的中點.
（1）證明：
平面
；
（2）當正視圖方向與向量
的方向相同時，的正視圖為直角三角形，求此時二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）根據題意可知
，由三線合一可證明
，進而由線面垂直的判定可證明
平面
；
（2）先證明
，然后以
為原點，
為
軸，
為
軸，
為
軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面
的一個法向量，
為平面的一個法向量，即可由二面角的向量求法求得二面角
的余弦值.
（1）由平面圖可知，
，
，
，
所以
平面
，所以.
因為
為
的中點，
，
∴.
因為
，
所以平面.
（2）因為
的正視圖與
全等，所以為直角三角形，故.
以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系如下圖所示，
則
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
設平面的一個法向量為
，則
，
∴
，令
，∴
，
因為為平面的一個法向量，設二面角為
，
所以
，
因為二面角為鈍角，所以
，
故二面角的余弦值為.
培優三好生系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知A，B是拋物線
上的兩點，且在x軸兩側，若AB的中點為Q，分別過A，B兩點作T的切線，且兩切線相交于點P.
（1）求證：直線PQ平行于x軸；
（2）若直線AB經過拋物線T的焦點，求
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】黨的十九大明確把精準脫貧作為決勝全面建成小康社會必須打好的三大攻堅戰之一，為堅決打贏脫貧攻堅戰，某幫扶單位考察了甲乙兩種不同的農產品加工生產方式，現對兩種生產方式加工的產品質量進行測試并打分對比，得到如下數據：
生產方式甲 | 分值區間 |
|
|
|
|
|
頻數 | 20 | 30 | 100 | 40 | 10 | |
生產方式乙 | 分值區間 |
|
|
|
|
|
頻數 | 25 | 35 | 60 | 50 | 30 |
其中產品質量按測試指標可劃分為：指標在區間
上的為特優品，指標在區間
上的為一等品，指標在區間
上的為二等品．
（1）用事件
表示“按照生產方式甲生產的產品為特優品”，估計的概率；
（2）填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷能否有
的把握認為“特優品”與生產方式有關？
特優品 | 非特優品 | |
生產方式甲 | ||
生產方式乙 |
（3）根據打分結果對甲乙兩種生產方式進行優劣比較．
附表：
| 0.10 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參考公式：
，其中
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓
的離心率為
，且過點
. 
為橢圓的右焦點， 
為橢圓上關于原點對稱的兩點，連接
分別交橢圓于
兩點.
⑴求橢圓的標準方程；
⑵若
，求
的值；
⑶設直線
， 
的斜率分別為
， 
，是否存在實數
，使得
，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面凸六邊形
的邊長相等,其中
為矩形,
．將
,
分別沿
,
折至
,
,且均在同側與平面垂直,連接
,如圖所示,E,G分別是,
的中點．
（1）求證：多面體
為直三棱柱；
（2）求二面角
平面角的余弦值．
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