Question

定義：|

a b x y

.

=ay-bx．已知|

cos(α+β) -sinβ sin(α+β) cosβ

.

=

1

3

．
（1）求cos2α的值；                       
（2）求tan(

π

4

-

α

2

)的值．

Answer 1

分析：（1）由新定義及和（差）角三角函數間的公式求出cosα的值，利用二倍角的余弦函數公式即可求出答案；
（2）由cosα的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinα的值，然后把所求的式子利用兩角差的正切函數公式化簡，將各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）|

cos(α+β) -sinβ sin(α+β) cosβ

.

=cos(α+β-β)=cosα=

1

3

…（2分），cos2α=2cos2α-1=-

7

9

…（4分）
（2）由cosα=

1

3

知，sinα=±

2 2

3

，又tan(

π

4

-

α

2

)=

sin( π 2 -α)

1+cos( π 2 -α)

=

cosα

1+sinα

…（6分）
當sinα=

2 2

3

時，tan(

π

4

-

α

2

)=

1

3+2 2

=3-2

2

，
當sinα=-

2 2

3

時，tan(

π

4

-

α

2

)=

1

3-2 2

=3+2

2

．              …（10分）

點評：此題考查了二階矩陣、同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的公式，以及二倍角公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．