Question

已知函數f（x）=x²-alnx在(1，2]是增函數，g（x）=x-a在（0，1）為減函數，
（1）求a的值；
（2）設函數φ（x）=2bx-是區間(0，1]上的增函數，且對于(0，1]內的任意兩個變量s、t，f（s）≥φ（t）恒成立，求實數b的取值范圍；
（3）設h（x）=f′（x）-g（x）-，求證：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）。

Answer 1

解：（1），
依題意，
∴，
又∵，
依題意，；
∴a=2；
 （2），
當，
∴f（x）為減函數，其最小值為1，
令，則在（0，1）上，，
∵函數在為增函數，恒成立，
∵，
又在的最大值為2b-1，
依題意，為所求范圍。
（3）

，
當n=1時，等式成立；
當n≥2時，



，
由均值不等式得，
∴。