Question

（2012•青州市模擬）已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ） 若a＞0，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的斜率是1，問：m在什么范圍取值時，對于任意的t∈[1，2]，函數g（x）=x3+x2[

m

2

+f′（x）]在區間（t，3）上總存在極值？

Answer 1

分析：（1）利用導數求函數的單調區間的步驟是①求導函數f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數的增區間（或減區間），
（2）點（2，f（2））處的切線的斜率為1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數可知：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，于是可求m的范圍．

解答：解：（Ⅰ） f′(x)=

a(1-x)

x

(x＞0)，
當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，1]，減區間為[1，+∞）；
（Ⅱ） f′(2)=-

a

2

=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g(x)=x3+(

m

2

+2)x2-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2
∵g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）=-2
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

，
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，∴-

37

3

＜m＜-9．
∴當m∈（-

37

3

，-9）內取值時對于任意的t∈[1，2]，函數g（x）=x3+x2[

m

2

+f′（x）]在區間（t，3）上總存在極值．

點評：本題考查利用函數的導數來求函數的單調區間，以及已知函數曲線上一點求曲線的切線方程，考查求導公式的掌握情況，含參數的數學問題的處理，構造函數求解證明不等式問題，屬于難題．