Question

【題目】函數f（x）= +lnx，其中a為實常數．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）= ，

①當a≤0時，∵x＞0，∴x﹣a＞0，∴f′（x）＞0，

∴f（x）在定義域上單調遞增．

②當a＞0時，若x＞a，則f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上單調遞增；

若0＜x＜a，則f′（x）＜0，f（x）在（0，a）上單調遞減．

綜上所述，當a≤0時，f（x）在定義域上單調遞增；

當a＞0時，f（x）在（a，+∞）上單調遞增，在（0，a）上單調遞減．

（2）解：當x∈（0，1）時，f（x）≥1a≥﹣xlnx+x，

不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，

a≥[﹣xlnx+x]max，x∈（0，1]，

令g（x）=﹣xlnx+x，g′（x）=﹣lnx≥0，x∈（0，1]，

∴g（x）在（0，1]上單調遞增，

∴g（x）max=g（1）=1，∴a≥1，

∴a的范圍為[1，+∞）．

【解析】（1）求出f（x）的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）問題轉化為a≥[﹣xlnx+x]max ， x∈（0，1]，令g（x）=﹣xlnx+x，求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．