Question

設函數f（x）=x+

λ

x

，其中常數λ＞0．
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）若λ=1，判斷f（x）在區間[1，+∞）上的單調性，并用定義加以證明；
（3）若f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增，求常數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數的定義域為R，且f（-x）=-x+

λ

-x

=-f（x），可得函數為奇函數．
（2）任取1≤x₁＜x₂，計算f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•

x1•x2-1

x1•x2

＜0，可得 f（x₁）＜f（x₂），從而得到函數f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增．
（3）任取1≤x₁＜x₂，根據f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•

(x1•x2-λ)

x1•x2

，且函數f（x）在區間[1，+∞）上的單調遞增，可得f（x₁）-f（x₂）＜0，
即  λ＜x₁•x₂  對1≤x₁＜x₂ 恒成立．再由1＜x₁•x₂，可得λ的范圍．

解答：解：（1）由于函數f（x）=x+

λ

x

，其中常數λ＞0，故函數的定義域為R，
且f（-x）=-x+

λ

-x

=-f（x），故函數為奇函數． 
（2）函數f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增．
證明：任取1≤x₁＜x₂，∵f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）+

x2-x1

x1•x2

=（x₁-x₂）•

x1•x2-1

x1•x2

，
由1≤x₁＜x₂，可得 x₁-x₂ ＜0，x₁•x₂，＞1，∴f（x₁）＜f（x₂），
故函數f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增．…（10分）
（3）任取1≤x₁＜x₂，∵f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

λ

x1

）-（x₂+

λ

x2

）=）=（x₁-x₂）+λ•

x2-x1

x1•x2

=（x₁-x₂）•

(x1•x2-λ)

x1•x2

，
且函數f（x）在區間[1，+∞）上的單調遞增．∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴x₁•x₂-λ＞0 對1≤x₁＜x₂ 恒成立，∴λ＜x₁•x₂，再由1＜x₁•x₂，可得0＜λ≤1．…（16分）

點評：本題主要考查函數的奇偶性的判斷，函數的單調性的判斷和證明，屬于中檔題．