Question

已知函數(shù)，在時取得極值．
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）若時,恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若，是否存在實數(shù)b，使得方程在區(qū)間上恰有兩個相異實數(shù)根，若存在，求出b的范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）     2分
依題意得，所以，從而       4分
（Ⅱ）令，得或（舍去），
當(dāng)時，當(dāng)
由討論知在的極小值為；最大值為或，因為，所以最大值為，所以    ……8分
（Ⅲ）設(shè),即，．
又，令，得；令，得．
所以函數(shù)的增區(qū)間，減區(qū)間．
要使方程有兩個相異實根，則有
，解得    12分
點評：第一問利用函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)為零得到系數(shù)的值，第二問第三問將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，進(jìn)而利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性求極值最值。這種轉(zhuǎn)化思路在函數(shù)題目中經(jīng)常用到，要加強這方面的訓(xùn)練