Question

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，左頂點(diǎn)為A，若|F₁F₂|=2，橢圓的離心率為e=，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N (均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn))，AH⊥MN垂足為H且，求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

解：(1)由題意得，。 
(2)設(shè)，，
，
由橢圓方程得，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=-6＜-2，
當(dāng)x₀=-2時(shí)，取最小值0；當(dāng)x₀=2時(shí)， 取最大值12，
∴的取值范圍是[0，12]。
(3)由，得，
由△＞0，得， ※
設(shè)，則，，
，
∴，
即，
∴，∴或均適合※，
當(dāng)時(shí)，直線過(guò)A，舍去，故；
當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)。