Question

【題目】已知橢圓 的離心率 ，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B，已知點A的坐標為（﹣a，0），點Q（0，y0）在線段AB的垂直平分線上，且 ，求y0的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由e= ，得3a2=4c2．

再由c2=a2﹣b2，解得a=2b．

由題意可知 ，即ab=2．

解方程組 得a=2，b=1．

所以橢圓的方程為

（2）解：由（Ⅰ）可知點A的坐標是（﹣2，0）．

設點B的坐標為（x1，y1），直線l的斜率為k．

則直線l的方程為y=k（x+2）．

于是A、B兩點的坐標滿足方程組

消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．

由 ，得 ．從而 ．

所以 ．

設線段AB的中點為M，

則M的坐標為 ．

以下分兩種情況：

①當k=0時，點B的坐標是（2，0），

線段AB的垂直平分線為y軸，

于是 ．

由 ，得 ．

②當k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為

．

令x=0，解得 ．

由 ， ，

=

= ，

整理得7k2=2．故 ．

所以 ．

綜上， 或

【解析】（1）由離心率求得a和c的關系，進而根據c2=a2﹣b2求得a和b的關系，進而根據 求得a和b，則橢圓的方程可得．（2）由（1）可求得A點的坐標，設出點B的坐標和直線l的斜率，表示出直線l的方程與橢圓方程聯立，消去y，由韋達定理求得點B的橫坐標的表達式，進而利用直線方程求得其縱坐標表達式，表示出|AB|進而求得k，則直線的斜率可得．設線段AB的中點為M，當k=0時點B的坐標是（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，進而根據 求得y0；當k≠0時，可表示出線段AB的垂直平分線方程，令x=0得到y0的表達式根據 求得y0；綜合答案可得．