Question

棱長為1的正四面體內切球的表面積為（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  3

  2

  π
• D．

  π

  3

Answer 1

分析：設所求正四面體為S-ABCD，可得它的內切球的球心0在高線SH上，延長AH交BC于點D，則D為BC的中點，連結SD則內切球切SD于點E，連結AO．利用正三角形的性質及三角形相似，算出內切球的半徑OH=

1

4

SH，結合題中數據可得內切球的半徑r=

6

12

，利用球的表面積公式即可算出答案．

解答：解：設正四面體S-ABCD如圖所示，
可得它的內切球的球心0必定在高線SH上
延長AH交BC于點D，則D為BC的中點，連結SD則內切球切SD于點E，連結AO
∵H是正三角形ABC的中心
∴AH：HD=2：1
∵Rt△0AH∽Rt△DSH
∴

OA

OH

=

DS

DH

=3，可得OA=30H=S0
因此，SH=4OH，可得內切球的半徑OH=

1

4

SH
∵正四面體棱長為1
∴Rt△SHD中，SD=

3

2

，HD=

1

3

SD=

3

6

可得SH=

SD2-HD2

=

6

3

，得內切球的半徑r=OH=

1

4

×

6

3

=

6

12

因此正四面體內切球的表面積為S=4πr²=

π

6

故選：A

點評：本題給出棱長等于1的正四面體，求它的內切球的表面積．著重考查了正三角形的性質、相似三角形、勾股定理和球的表面積公式等知識，屬于中檔題．