Question

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．

(1) 證明：BD⊥平面PAC；
(2) 若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．

Answer 1

(1)見解析；(2).

解析試題分析：(1)先利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理，得到 和 ，因為 ，所以利用直線與平面垂直的判定定理可知， ；(2)首先分別以射線，，為軸，軸，軸的正半軸建立空間直角坐標系，由直線與平面垂直的性質(zhì)定理得到，那么矩形為正方形，由此可知此正方形的邊的長度，根據(jù)坐標系表示四棱錐出各個頂點的坐標，分別求出平面和平面的法向量的坐標，根據(jù)二面角與其法向量夾角的關(guān)系，求得二面角的余弦值，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到所求二面角的正切值.
試題解析：(1)證明　∵，，∴．2分
同理由，可證得．
又，∴．                               4分
(2)如圖，分別以射線，，為軸，軸，軸的正半軸建立空間直角坐標系．

由(1)知，又， ∴．
故矩形為正方形，∴．     6分
∴．
∴．
設(shè)平面的一個法向量為，則，即，
∴，取，得．
∵，∴為平面的一個法向量．10分
所以．                  11分
設(shè)二面角的平面角為，由圖知，，所以．
∴ 所以，即二面角的正切值為．    12分
考點：1.直線與平面垂直的判定定理；2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理；3.平面和平面所成的角(二面角)；4.勾股定理；5.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；6.平面的法向量