Question

若函數f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）（2＜x＜10）的圖象與x軸交于點A，過點A的直線l與f（x）的圖象交于B、C兩點，O為坐標原點，則（

OB

+

OC

）•

OA

=

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：根據“f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）（2＜x＜10）的圖象與x軸交于點A”求出A點坐標，設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由正弦函數的對稱性可知B，C 兩點關于A對稱即x₁+x₂=8，y₁+y₂=0，代入向量的數量積的坐標表示即可求解

解答： 解：由f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）=0，可得

π

6

x+

π

3

=kπ，
∴x=6k-2，k∈Z
∵2＜x＜10
∴x=4即A（4，0）
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
∵過點A的直線l與函數的圖象交于B、C兩點
∴B，C 兩點關于A對稱即x₁+x₂=8，y₁+y₂=0
∴（

OB

+

OC

）•

OA

=（x₁+x₂，y₁+y₂）•（4，0）=4（x₁+x₂）=32
故答案為：32．

點評：本題主要考查了向量的數量積的坐標表示，解題的關鍵正弦函數對稱性質的應用．