Question

已知函數f（x）=x²+

a

x

（x≠0，常數a∈R）．
（1）討論函數f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若函數f（x）在[2，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）x²為偶函數，欲判函數f（x）=x²+

a

x

的奇偶性，只需判定

a

x

的奇偶性，討論a判定就可．
（2）處理函數的單調性問題通常采用定義法好用．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=x²
對任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
∴f（x）為偶函數．
當a≠0時，f（x）=x²+

a

x

（x≠0，常數a∈R），
取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0，
f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1）．
∴函數f（x）既不是奇函數也不是偶函數．
（2）設2≤x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x21+

a

x1

-x22-

a

x2

=

(x1-x2)

x1x2

[x₁x₂（x₁+x₂）-a]，
要使函數f（x）在x∈[2，+∞）上為增函數，
必須f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立．
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
即a＜x₁x₂（x₁+x₂）恒成立．
又∵x₁+x₂＞4，∴x₁x₂（x₁+x₂）＞16，
∴a的取值范圍是（-∞，16]．

點評：單調性的證明步驟：
取值（在定義域范圍內任取兩個變量，并規定出大小）
做差（即f（x₁）-f（x₂），并且到“積”時停止）
判號（判“積”的符號）
結論（回歸題目）