Question

【題目】已知a＞0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定義域?yàn)閇0，1]．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求b的取值范圍；
（2）設(shè)f（x）的最大值和最小值分別為M和m，求證：M+m＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得f（x）=4x2﹣2bx﹣1+b在[0，1]內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

即有 即為 ，

解得1≤b＜2或2＜b≤3

（2）證明：f（x）的對(duì)稱軸為x= ，

當(dāng) ＞1時(shí)，區(qū)間[0，1]為減區(qū)間，可得M=f（0）=b﹣a，

m=f（1）=3a﹣b，則M+m=2a＞0；

當(dāng) ＜0時(shí)，區(qū)間[0，1]為增區(qū)間，可得m=f（0）=b﹣a，

M=f（1）=3a﹣b，則M+m=2a＞0；

當(dāng)0≤ ≤1時(shí)，區(qū)間[0， ]為減區(qū)間，[ ，1]為增區(qū)間，

可得m=f（ ）= ，

若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a﹣b，

M+m= ≥ =a＞0；

若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b﹣a，

M+m= = ，

由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即為M+m＞0．

綜上可得M+m＞0恒成立

【解析】（1）由題意可得f（0）≥0，f（1）≥0，△＞0，0＜ ＜1，解不等式即可得到所求范圍；（2）求出對(duì)稱軸，討論對(duì)稱軸和區(qū)間[0，1]的關(guān)系，可得最值，即可證明M+m＞0．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值)．