Question

已知在區間上是增函數.

（1）求實數的值組成的集合；

（2）設關于的方程的兩個非零實根為、．試問：是否存在實數，使得不等式對任意及 恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）實數a的值組成的集合；

（2）存在實數，使得不等式對任意及 恒成立．

【解析】

試題分析：（1）先求出函數的導數，將條件在區間上為增函數這一條件轉化為在區間上恒成立，結合二次函數的圖象得到，從而解出實數的取值范圍；（2）先將方程轉化為一元二次方程，結合韋達定理得到與，然后利用

將用參數進行表示，進而得到不等式對任意

及恒成立，等價轉化為對任意恒成立，將不等式

轉化為以為自變量的一次函數不等式恒成立，只需考慮相應的端點值即可，從而解出參數的取值范圍.

試題解析：（1）因為在區間上是增函數，

所以，在區間上恒成立，

，

所以，實數的值組成的集合；

（2）由 得，即，

因為方程，即的兩個非零實根為、，

、是方程兩個非零實根，于是，，

，

，，

設，，

則，

若對任意及恒成立，

則，解得或，

因此，存在實數或，使得不等式對任意及恒成立.

考點：1.函數的單調性；2.二次函數的零點分布；3.韋達定理；4.主次元交換