Question

已知函數在上單調遞減且滿足.

（1）求的取值范圍.

（2）設，求在上的最大值和最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當時，在取得最小值，

在上取得最大值.

當時， 在取得最大值，在時取得最小值.

當時，由，得.

當時，在時取得最小值，在時取得最大值.

當時，在時取得最大值，在時取得最小值，

當時，在時取得最小值；

當時，在時取得最小值.

【解析】

試題分析：（1）注意到 ，

其導函數為

根據題意得到“對于任意.有”.所以結合二次函數的性質分類討論.

具體情況有，， ，.

（2）注意到，，

討論，，的情況.

而在時，要結合二次函數的圖象和性質，具體地討論①若，即；

②若，即的不同情況.

易錯點在于分類討論不全面.

試題解析：

（1）由得：

則 ，

依題意需對于任意.有.

當時，因為二次函數的圖像開口向上，

而，所以需，即；

當時，對任意有，符合條件；

當時，對任意有，符合條件；

當時，因為，不符合條件.

故的取值范圍為.

（2）因，，

當時，，在取得最小值，

在上取得最大值.

當時，對任意有，在取得最大值，在時取得最小值.

當時，由，得.

①若，即時，在上單調遞增，在時取得最小值，在時取得最大值.

②若，即時，在時取得最大值，在時取得最小值，而，.則當時，在時取得最小值；

當時，在時取得最小值.

考點：應用導數研究函數，分類討論思想，數學式子的變形能力.