Question

【題目】如圖，某森林公園有一直角梯形區域ABCD，其四條邊均為道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．現甲、乙兩管理員同時從地出發勻速前往D地，甲的路線是AD，速度為6千米/小時，乙的路線是ABCD，速度為v千米/小時．

（1）若甲、乙兩管理員到達D的時間相差不超過15分鐘，求乙的速度v的取值范圍；

（2）已知對講機有效通話的最大距離是5千米．若乙先到達D，且乙從A到D的過程中始終能用對講機與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）由路程、速度、時間關系可得關系式：，解簡單含絕對值不等式即可，注意單位統一（2）首先乙先到達D地，故＜2，即v＞8．然后乙從A到D的過程中與甲最大距離不超過5千米：分三段討論①當0＜vt≤5，由余弦定理得甲乙距離(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB≤25，②當5＜vt≤13，構造直角三角形得甲乙距離(vt－1－6t)2＋9≤25，②當5＜vt≤13，由直角三角形得甲乙距離(12－6t)2＋(16－vt)2≤25，三種情況的交集得8＜v≤．

試題解析：解：（1）由題意，可得AD＝12千米．

由題可知

解得．

（2）經過t小時，甲、乙之間的距離的平方為f(t)．

由于乙先到達D地，故＜2，即v＞8．

①當0＜vt≤5，即0＜t≤時，

f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝(v2－v＋36) t2．

因為v2－v＋36＞0，所以當t＝時，f(t)取最大值，

所以(v2－v＋36)×()2≤25，解得v≥．

②當5＜vt≤13，即＜t≤時，

f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6)2(t－)2＋9．

因為v＞8，所以＜，(v－6)2＞0，所以當t＝時，f(t)取最大值，

所以(v－6)2(－)2＋9≤25，解得≤v≤．

③當13≤vt≤16，≤t≤時，

f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，

因為12－6t＞0，16－vt＞0，所以當f(t)在(，)遞減，所以當t＝時，f(t)取最大值，

(12－6×)2＋(16－v×)2≤25，解得≤v≤．

因為v＞8，所以 8＜v≤．