Question

某直角走廊的示意圖如圖所示，其兩邊走廊的寬度均為2m．
（1）過(guò)點(diǎn)p的一條直線(xiàn)與走廊的外側(cè)兩邊交于A，B兩點(diǎn)，且與走廊的一邊的夾角為θ(0＜θ＜

π

2

)，將線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度l表示為θ的函數(shù)；
（2）一根長(zhǎng)度為5m的鐵棒能否水平（鐵棒與地面平行）通過(guò)該直角走廊？請(qǐng)說(shuō)明理由（鐵棒的粗細(xì)忽略不計(jì)）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖可知l（θ）=BP+AP，而BP=

2

sinθ

，AP=

2

cosθ

代入整理可得函數(shù)．
（2）“長(zhǎng)度為5m的鐵棒能否水平（鐵棒與地面平行）通過(guò)該直角走廊，鐵棒能水平通過(guò)該直角直廊”，關(guān)鍵看函數(shù)l（θ）=的值域，先研究其單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)法，先求導(dǎo)，令l'（θ）=0得，θ=

π

4

，易知當(dāng)0＜θ＜

π

4

時(shí)，l'（θ）＜0，l（θ）為減函數(shù)；當(dāng)

π

4

＜θ＜

π

2

時(shí)，l'（θ）＞0，l（θ）為增函數(shù)，可知當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，l（θ）有最小值，再與5比較得到結(jié)論．

解答：解：（1）根據(jù)圖得：l(θ)=BP+AP=

2

sinθ

+

2

cosθ

，θ∈(0，

π

2

)．
（2）鐵棒能水平通過(guò)該直角直廊，
理由如下：l′(θ)=(

2

sinθ

)′+(

2

cosθ

)′
=

0•sinθ-2•cosθ

sin2θ

+

0•cosθ+2•sinθ

cos2θ

=

2(sin2θ-cos2θ)

sin2θcos2θ

．
令l'（θ）=0得，θ=

π

4

．
當(dāng)0＜θ＜

π

4

時(shí)，l'（θ）＜0，l（θ）為減函數(shù)；
當(dāng)

π

4

＜θ＜

π

2

時(shí)，l'（θ）＞0，l（θ）為增函數(shù)；
所以當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，l（θ）有最小值4

2

，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">4

2

＞5，所以鐵棒能水平通過(guò)該直角走廊．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的建立與應(yīng)用，還考查了三角函數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值等．