Question

將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，異面直線AD與BC所成的角為

1. A.
   30°
2. B.
   45°
3. C.
   60°
4. D.
   90°

Answer 1

C
分析：將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，可得當(dāng)三棱錐B-ACD體積最大時(shí)，BO⊥平面ADC．設(shè)B′是B折疊前的位置，連接B′B，可得
∠BCB′就是直線AD與BC所成角，算出△BB′C的各邊長(zhǎng)，得△BB′C是等邊三角形，從而得出直線AD與BC所成角的大小．
解答：設(shè)O是正方形對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，
可得當(dāng)BO⊥平面ADC時(shí)，點(diǎn)B到平面ACD的距離等于BO，
而當(dāng)BO與平面ADC不垂直時(shí)，點(diǎn)B到平面ACD的距離為d，且d＜BO
由此可得當(dāng)三棱錐B-ACD體積最大時(shí)，BO⊥平面ADC．
設(shè)B'是B折疊前的位置，連接B′B，
∵AD∥B′C，∴∠BCB′就是直線AD與BC所成角
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a
∵BO⊥平面ADC，OB'?平面ACD
∴BO⊥OB'，
∵BO'=BO=AC=a，
∴BB′=BC=B′C=a，得△BB′C是等邊三角形，∠BCB′=60°
所以直線AD與BC所成角為60°
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題將正方形折疊，求所得錐體體積最大時(shí)異面直線所成的角，著重考查了線面垂直的性質(zhì)和異面直線所成角求法等知識(shí)，屬于中檔題．