Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知a2-c2=b2-

2 6 bc

3

（Ⅰ）求tan2A；
（Ⅱ）若sin(

π

2

+B)=

2 2

3

，c=2

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，將已知等式變形后代入求出cosA的值，進而利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，確定出tanA的值，將所求式子利用二次角的正切函數公式化簡后，將tanA的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由誘導公式化簡sin（

π

2

+B）=

2 2

3

，求出cosB的值，再利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，由誘導公式及三角形內角和定理得到sinC=sin（A+B），利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，將各自的值代入求出sinC的值，再由sinA與c的值，利用正弦定理求出a的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵a²-c²=b²-

2 6 bc

3

，即b²+c²-a²=

2 6 bc

3

，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

6

3

，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

3

，tanA=

2

2

，
則tan2A=

2tanA

1-tan2A

=

2× 2 2

1-( 2 2 )2

=2

2

；
（Ⅱ）由sin（

π

2

+B）=

2 2

3

，得cosB=

2 2

3

，
∴sinB=

1-cos2B

=

1

3

，
則sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

3

×

2 2

3

+

6

3

×

1

3

=

6

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：a=

csinA

sinC

=2，又c=2

2

，
則△ABC的面積為S=

1

2

acsinB=

2 2

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數間的基本關系，二倍角的正切函數公式，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．