Question

已知函數 (R)．

(1)  當時，求函數的極值；

（2）若函數的圖象與軸有且只有一個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當時, 取得極大值為;當時, 取得極小值為-6. （Ⅱ）a的取值范圍是．

解析:

（1）當時，，

∴.                    

       令=0, 得 .                                    …… 2分                   

當時,, 則在上單調遞增;

當時,, 則在上單調遞減;

當時,, 在上單調遞增.                      

∴ 當時, 取得極大值為;

當時, 取得極小值為.        …… 5分

（2） ∵ = ，

∴△= =  .                             

① 若a≥1，則△≤0，                                           …… 6分

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調遞增 .                                                   

∵f（0），,                   

∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．        …… 8分 

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  

當變化時，的取值情況如下表：                       

x		x1	（x1，x2）	x2
	+	0	－	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

                               …… 9分

∵,

∴.

∴

       

       

        .

同理.

∴

.

          令f（x₁）·f（x₂）＞0,  解得a＞．                                    

    而當時,,

故當時, 函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.         …… 11分                            

綜上所述，a的取值范圍是．                                …… 12分