Question

設函數f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²+2．
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）若不等式f（x）＞m在恒成立，求實數m的取值范圍．
（3）若對任意的a∈（1，2），總存在x∈[1，2]，使不等式成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導函數，令f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0寫出區間形式即為函數f（x）的單調增區間．
（2）由（1）得f（x）在的單調性，進一步求出f（x）_min，得到m的范圍．
（3）構造函數g（a），通過導數求出g（a）的最大值，由（1）求出f_max=f（2）=11-ln9，令f_max大于g（a）的最大值求出a的范圍
解答：解：（1）函數的定義域為{x|x≠-1}…（1分）
…（2分）
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0
故函數f（x）的單調增區間為（-2，-1）和（0，+∞）
（2）∵當時f′（x）＜0…（4分）
當x∈[0，e-1]時f′（x）＞0
∴f（x）在上單調遞減，在[0，e-1]上單調遞減．…（6分）
f（x）_min=f（0）=1-0+2=3
∴m＜3…（8分）
（3）設
y=g（a）在上單減，在上單增…（10分）
由（1）知f（x）在[1，2]上單增，
∴f_max=f（2）=11-ln9…（12分）
又

g（1）＞g（2）
∴
∴…（14分）
點評：解決不等式恒成立求參數的范圍，一般是將參數分離出來，通過構造函數，利用導數求出函數的單調性進一步求出函數的最值，得到參數的范圍．