Question

已知橢圓C：（），其離心率為，兩準線之間的距離為。（1）求之值；（2）設點A坐標為(6, 0)，B為橢圓C上的動點，以A為直角頂點，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按順時針方向排列），求P點的軌跡方程。

Answer 1

（1）a＝5，b＝3（2）

（1）設c為橢圓的焦半徑，則
。
于是有a＝5，b＝3。
（2） 解法一：設B點坐標為，P點坐標為。于是有

因為，所以有
。           (A1 )
又因為ABP為等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 
。              (A2 )  
由（A1）推出，代入（A2），得
        
從而有 ，即（不合題意，舍去）或。
代入橢圓方程，即得動點P的軌跡方程

解法二： 設,，則以A為圓心，r為半徑的圓的參數方程為
。
設AB與x軸正方向夾角為，B點的參數表示為
，
P點的參數表示為
.
從上面兩式，得到
。
又由于B點在橢圓上，可得
。
此即為P點的軌跡方程。