Question

已知函數y=f（x）存在反函數，定義：若對給定的實數a（a≠0），函數y=f（x+a）與y=f^-1（x+a）互為反函數，則稱y=f（x）滿足“a和性質”．
（1）判斷函數g（x）=x²+1（x＞0）是否滿足“1和性質”，說明理由；
（2）求所有滿足“2和性質”的一次函數．

Answer 1

（1）不是；
∵g（x）=x²+1（x＞0）
∴y=g（x+1）=（x+1）²+1（x＞0）
∴x+1=

y-1

∴x=

y-1

-1
∴y=

x-1

-1即g′(x+1)=

x-1

-1(x＞2)①
∵g′(x)=

x-1

，，
∴g′(x+1)=

x

與①不符故函數g（x）=x²+1（x＞0）不滿足“1和性質”
（2）設所有滿足“2和性質”的一次函數為f（x）=kx+b（k≠0）
     則f^′（x）=

x-b

k

∴f′(x+2)=

x+2-b

k

∵f（x+2）=k（x+2）+b
∴f′(x+2)=

x-2k-b

k

∴

x+2-b

k

=

x-2k-b

k

∴k=-1
∴f（x）=-x+b