Question

已知橢圓的長軸長為，離心率為，分別為其左右焦點(diǎn)．一動圓過點(diǎn)，且與直線相切．
（1）(ⅰ)求橢圓的方程；（ⅱ)求動圓圓心軌跡的方程；
（2）在曲線上有四個不同的點(diǎn)，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

（1）(ⅰ）；（ⅱ） ；（2）. 四邊形面積的最小值為.

試題分析：（1）(ⅰ)由題意，,再結(jié)合解出的值從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(ⅱ)由條件“動圓過點(diǎn)，且與直線相切”知動圓圓心到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離，且定點(diǎn)不在定直線上，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線；
（2）由題設(shè)知直線和直線互相垂直相交于點(diǎn)，且分別與物拋線有兩個交點(diǎn)，因此兩直線的斜率均存在且不為零，所以解決問題的基本思路是以其中一條直線的斜率為自變量，利用直線與拋物線相交的位置關(guān)系，將四邊形的面積表示成直線斜率的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
試題解析：（1）(ⅰ)由已知可得 
則所求橢圓方程                                                 3分
(ⅱ)由已知可得動圓圓心的軌跡為拋物線，且拋物線 的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線方程為 ，則動圓圓心軌跡方程為                                                         6分
（2）由題設(shè)知直線 的斜率均存在且不為零
設(shè)直線的斜率為, 則直線的方程為： 
聯(lián)立
消去 可得                                     8分
由拋物線這義可知：
                     10分
同理可得                                                     11分
又（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號)
所以四邊形面積的最小值為.                           14分