Question

（2009•濰坊二模）已知函數f（x）=-2sinx•cosx+2cos²x+1．
（1）設方程f（x）-1=0在（0，π）內有兩個零點x₁，x₂，求x₁+x₂的值；
（2）若把函數y=f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個單位使所得函數的圖象關于點（0，2）對稱，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡f（x）的解析式為

2

cos（2x+

π

4

）+2，由f（x）-1=0求得cos（2x+

π

4

）=-

2

2

，再根據x∈（0，π），求得x₁和x₂的值，即可求得x₁+x₂的值．
（2）設y=f（x）的圖象向左平移m個單位，得到函數g（x）的圖象，根據y=g（x）的圖象關于點（0，2）對稱，求得mm=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z，從而求得m的最小值．

解答：解：（1）由題設f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=

2

cos（2x+

π

4

）+2，…（2分）
∵f（x）-1=0，∴

2

cos（2x+

π

4

）+1=0，…（3分）
∴cos（2x+

π

4

）=-

2

2

．…（4分）
由2x+

π

4

=2kπ+

3

4

π或2x+

π

4

=2kπ+

5

4

π，k∈Z，求得x=kπ+

π

4

或x=kπ+

π

2

．…（5分）
∵x∈（0，π），∴x₁=

π

4

，x₂=

π

2

，∴x₁+x₂=

3

4

π．…（6分）
（2）設y=f（x）的圖象向左平移m個單位，得到函數g（x）的圖象，則g（x）=

2

cos（2x+

π

4

+2m）+2，…（8分）
∵y=g（x）的圖象關于點（0，2）對稱，
∴2m+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z．…（10分）
∴2m=kπ+

π

4

，k∈Z．
∴m=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z．…（11分）
∵m＞0，
∴k=0時，m取得最小值

π

8

．…（12分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，余弦函數的對稱性，屬于基礎題．