Question

【題目】從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50人測量身高．據測量，被測學生身高全部介于155 cm到195 cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組[155，160)；第二組[160，165)；…；第八組[190，195]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．已知第一組與第八組人數相同，第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列．

（Ⅰ）估計這所學校高三年級全體男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人數；

（Ⅱ）求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖(用虛線標出高度)；

（III）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩人，記他們的身高分別為x、y，求事件“|x－y|≤5”的概率．

Answer 1

【答案】（I）人；（II）見解析；（III）．

【解析】

試題分析：（I）由頻率分布直方圖前五組頻率為，而從后三組頻率為，由此能求出這所學校高三年級全體男生身高在以上（含）的人數；（II）由頻率分布直方圖得第八組頻率為，人數為，設第六組人數為，在第七組人數為，從而求出第六組的人數為，第七組人數為，由此能求出其完整的頻率分布直方圖；（III）由（II）知身高在內的人數為，身高在內的人數為，由此列舉法能求出事件“”的概率．

試題解析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得前五組頻率為(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三組頻率為1－0.82＝0.18，人數為0.18×50＝9，

這所學校高三年級全體男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人數為800×0.18＝144．

（II）由頻率分布直方圖得第八組頻率為0.008×5＝0.04，人數為0.04×50＝2，設第六組人數為，則第七組人數為9－2－＝，又，

解得，所以第六組人數為4，第七組人數為3，

頻率分別等于0.08，0.06．

頻率/組距分別等于0.016，0.012．

其完整的頻率分布直方圖如圖．

（III）由（II）知身高在[180，185)內的人數為4，設為，身高在[190，195]內的人數為2，設為A、B，若x，y∈[180，185)時，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6種情況；

若x，y∈[190，195]時，有AB共1種情況；

若x，y分別在[180，185)和[190，195]內時，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8種情況．

所以基本事件總數為6＋1＋8＝15，事件“”所包含的基本事件個數有6＋1＝7，

∴