Question

（2012•朝陽區二模）設函數f(x)=alnx+

2 a 2

x

(a≠0)．
（1）已知曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l的斜率為2-3a，求實數a的值；
（2）討論函數f（x）的單調性；
（3）在（1）的條件下，求證：對于定義域內的任意一個x，都有f（x）≥3-x．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=alnx+

2 a 2

x

(a≠0)，知f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

，再由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l的斜率為2-3a，知f′（1）=a-2a²=2-3a，由此能求出a．
（2）由f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

=

a(x-2a)

x2

，利用a的取值范圍進行分類討論，能夠得到函數f（x）的單調性．
（3）由（1）知，f（x）=lnx+

2

x

，設g（x）=f（x）-（3-x），則g（x）=lnx+

2

x

+x-3，g′(x)=

1

x

-

2

x2

+1=

x2+x-2

x2

=

(x-1)(x+2)

x2

，x＞0．列表討論，能夠證明對于定義域內的任意一個x，都有f（x）≥3-x．

解答：解：（1）∵f(x)=alnx+

2 a 2

x

(a≠0)，
∴f（x）的定義域為{x|x＞0}，
f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l的斜率為2-3a，
∴f′（1）=a-2a²=2-3a，
解得a=1．
（2）f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

=

a(x-2a)

x2

，
①當a＜0時，∵x＞0，∴x-2a＞0，a（x-2a）＜0，
∴f′（x）＜0，故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當a＞0時，若0＜x＜2a，則a（x-2a）＜0，f′（x）＜0，
函數f（x）在（0，2a）上單調遞減；
若x＞2a，則a（x-2a）＞0，f′（x）＞0，函數在（2a，+∞）上單調遞增．
綜上所述，當a＜0時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
當a＞0時，函數f（x）在（0，2a）上單調遞減，在（2a，+∞）上單調遞增．
（3）由（1）知，f（x）=lnx+

2

x

，
設g（x）=f（x）-（3-x），則g（x）=lnx+

2

x

+x-3，
∴g′(x)=

1

x

-

2

x2

+1=

x2+x-2

x2

=

(x-1)(x+2)

x2

，x＞0
當x變化時，g′（x），g（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↓	極小值	↑

∴x=1是g（x）在（0，+∞）上的唯一極值點，且是極小值點，
從而也是g（x）的最小值點，
∴g（x）≥g（1）=ln1+2+1-3=0，
∴g（x）=f（x）-（3-x）≥0，
∴對于定義域內的任意一個x，都有f（x）≥3-x．

點評：本題考查滿足條件的實數值的求法，考查函數的單調性的討論，考查不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．