Question

已知函數f(x)的定義域為R，對任意實數m、n，滿足f()=2,且f(m+n)=f(m)+f(n)-1,當x＞-時,f(x)＞0

（1）求f(-12)的值；

（2）求證：f(x)在定義域R上是單調遞增函數.

Answer 1

(1)解析：令m=n=0,得f(0)=2f(0)-1,

∴f(0)=1.又f()=2,

令m=,n=-,得f(-)=f()+f(-)-1，

∴f(-)=0.

(2)證明：設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂,則x₂-x₁＞0,x₂-x₁-＞-，

當x＞-時，f(x)＞0,

∴f(x₂-x₁-)＞0.

f(x₂)-f(x₁)

=f［（x₂-x₁）+x₁］-f(x₁)

=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)

=f(x₂-x₁)-1

=f(x₂-x₁)+f(-)-1

=f(x₂-x₁-)＞0,

因此，f(x)是增函數.