Question

（2013•鄭州二模）如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，

CD

=λ

CC1

．（λ∈R）
（Ⅰ）當λ=

1

2

時，求證AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）當二面角A-A₁D-B的大小為

π

3

時，求實數λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，取BC邊的中點O，連結AO，可證AO垂直于底面，以O為坐標原點建立空間直角坐標系，由已知求出各點的坐標，得到向量

AB1

，

DA1

，

DB

的坐標，由向量的數量積等于0可證AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）把D點的坐標用含有λ的代數式表示，求出二面角A-A₁D-B的兩個面的法向量，利用法向量所成的角為

π

3

即可得到λ的值．

解答：（Ⅰ）證明：取BC的中點為O，連結AO
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面ABC⊥面CB₁，△ABC為正三角形，所以AO⊥BC，
故AO⊥平面CB₁．
以O為坐標原點建立如圖空間直角坐標系O-xyz．
則A(0，0，

3

)，B₁（1，2，0），D（-1，1，0），A1(0，2，

3

)，B（1，0，0）．
所以

AB1

=(1，2，-

3

)，

DA1

=(1，1，

3

)，

DB

=(2，-1，0)，
因為

AB1

•

DA1

=1+2-3=0，

AB1

•

DB

=2-2=0，
所以AB₁⊥DA₁，AB₁⊥DB，又DA₁∩DB=D，
所以AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）解：由（1）得D（-1，2λ，0），所以

DA1

=(1，2-2λ，

3

)，

DB

=(2，-2λ，0)，

DA

=(1，-2λ，

3

)，
設平面A₁BD的法向量

n1

=(x，y，z)，平面AA₁D的法向量

n2

=(s，t，u)，
由

n1 • DA1 =0 n1 • DB =0

，得

x+(2-2λ)y+ 3 z=0 2x-2λy=0

，取y=1，得x=λ，z=

λ-2

3

．
所以平面A₁BD的一個法向量為

n1

=(λ，1，

λ-2

3

)，
由

n2 • DA1 =0 n2 • DA =0

，得

s+(2-2λ)t+ 3 u=0 s-2λt+ 3 u=0

，取u=-1，得x=

3

，y=0．
所以平面AA₁D的一個法向量

n2

=(

3

，0，-1)，
由cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

2

，得

3 λ- λ-2 3

λ2+12+( λ-2 3 )2 • ( 3 )2+(-1)2

=

1

2

．
解得λ=

1

4

，為所求．

點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了二面角的平面角．訓練了利用平面法向量求二面角的大小，是中檔題．